Продолжим рассматривать задачу падения капли. С какой высоты падают капли в природе? С высоты грозовых облаков. Как они туда поднялись? Для такой постановки задачи нужно определиться, как с высотой будет изменяться состояние воздуха, поскольку воздух — окружающая среда для атмосферного пара, капель, градинок и снежинок. Рассмотрим уравнение состояния идеального газа. Обычно, в школьном курсе пространство для идеального газа принимается изотропным, то есть обладающим одинаковыми свойствами по всем направлениям. Просто соотношение высоты лабораторного объёма и скорости молекул газа таковы, что изменение вертикальной составляющей скорости за счёт ускорения свободного падения при свободном пролёте молекулы от стенки до стенки настолько мало, что им можно пренебречь, но применительно к идеальному газу воздушной оболочки Земли пространство анизотропно в вертикальном направлении и нам предстоит ответить на вопросы:
- как меняется плотность воздуха с высотой?
- почему же температура с высотой падает?
- и измерить, как это происходит
Если это идеальный газ, то его молекулы не взаимодействуют друг с другом, а ударяются только о внешние границы. Значит, во-первых, можно ограничиться рассмотрением движения всего одной молекулы, во-вторых, у воздушной оболочки земли внешней границей для ударов будет только земная поверхность. Температура поверхности такого крупного космического тела сама по себе отличается от абсолютного нуля и ещё разогревается солнечным излучением. Для той части солнечного спектра, которая достигает поверхности Земли атмосферная оболочка почти прозрачна, то есть одиночная молекула воздуха, которую мы будем рассматривать, приобретает свою скорость в момент взаимодействия с разогретой поверхностью Земли, а температура 290 К соответствует скорости молекулы 500 м/с. Другими словами температура воздуха с высотой падает по той же причине по какой у подброшенного вверх камня с высотой снижается скорость. Кинетическая энергия, полученная от земной поверхности, у молекулы, летящей вертикально вверх, на максимальной высоте полностью переходит в потенциальную:
v2 / 2 = g h
На высоте h = v2 / 2 / g = 12.755 км скорость молекулы равна нулю и соответственно температура становится в градусах Кельвина абсолютным нулём или по Цельсию -273 оС. То есть по мере подъёма вверх температура понижается в силу затраты энергии молекулы на подъём — на работу против силы гравитации — это объяснение на молекулярно-кинетическом уровне, то есть исходя из кинетики отдельных молекул.
В реальности длина свободного полёта молекулы воздуха меньше, чем высота атмосферы, но покажем, что на темпе снижения температуры это никак не скажется. Возьмём не одну, а две вертикально летающие молекулы, на некоторой высоте они будут абсолютно упруго соударяться друг с другом, при таком ударе будет работать закон сохранения импульса:
На графике красной линией изображена траектория нижней или «горячей» молекулы, а траектория верхней молекулы — синяя линия:
Видно, что за 6 минут (360 секунд) молекулы столкнулись 7 раз и после столкновения верхняя молекула двигается так, как продолжила бы двигаться нижняя молекула, если бы столкновения не было и наоборот. Закон сохранения импульсов при столкновении тел одинаковой массы работает именно таким образом.
Теперь перейдём с уровня молекулярной кинетики на уровень термодинамики, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для одного моля идеального газа:
P = RT/V
R — универсальная газовая постоянная = 8.314 Дж/моль/К
P — давление, которое оказывает на один квадратный метр основания вес атмосферного столба, в цикле программы на каждом шаге будем подниматься на 1 метр вверх и в соответствии с ЗАКОНОМ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ из давления отнимать вес воздуха из нижнего кубического метра: P — g*μ/V, где μ — молярная масса воздуха = 0.02897 кг/моль
T — температура, с каждым метром вверх в соответствии с ЗАКОНОМ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ из температуры будем отнимать величину, соответствующую работе, затраченной на этот подъём: T — g*μ*2/3/R
График: зависимости давления в Паскалях (синяя линия и правая ось) и температуры в Кельвинах (красная линия и левая ось) от высоты в метрах (ось абсцисс):
Для наших будущих расчётов сопротивления воздуха на разных высотах нам нужна будет плотность воздуха, приведём соответствующий график: зелёная линия — плотность кг/м3:
В нашей упрощенной модели высота атмосферы получилась немного больше 12 километров и почти совпала с высотой реальной тропосферы (самого нижнего слоя атмосферы). Термальная ступень получилась равной = 12755/290 ≈ 44 м, то есть каждые 44 метра вверх температура снижается на 1 градус. Наша модель очень чёткая ))) — достигается температура 0 K на высоте 12 с лишним километров и всё, дальше молекулы не летают, не позволяет закон сохранения энергии и атмосферы дальше нет. Реальная высота атмосферы много больше и термальная ступень тоже.
дальше